Inżynier i Fizyk Medyczny 4/2017 vol. 6
221
artykuł
/
article
radioterapia
/
radiotherapy
symulacji komputerowej – jak również zależy on od kształtu
zbioru rozwiązań dopuszczalnych (zbiór wypukły, niewypukły,
niespójny) [4]. W ogólności w rzeczywistych problemach opty-
malizacyjnych funkcja celu oraz zbiór rozwiązań dopuszczalnych
nie są w ogóle dostępne w formie jawnej. Definiowane są za-
zwyczaj modelem problemu – opisem matematycznym precy-
zującym w możliwie dokładny sposób całość danego zadania
optymalizacji (Rys. 5). Należy zdawać sobie sprawę, że modele
problemów rzeczywistych posiadają zazwyczaj bardzo złożoną
i skomplikowaną strukturę [4].
c)
techniki leksykograficzne;
d)
metoda ε-ograniczeń.
Zaletą tych metod jest możliwość stosowania dobrze pozna-
nych algorytmów optymalizacji problemów jednokryterialnych
(cechuje je mała złożoność obliczeniowa). Natomiast słabą ich
stronę stanowi odpowiedni dobór współczynników wagowych.
Są to metody zbyt uproszczone, niewydolne i nieefektywne
w rozwiązywaniu rzeczywistych problemów mających wielo-
kryterialną naturę. Aby poradzić sobie z takimi właśnie proble-
mami, należy użyć zupełnie innych narzędzi, innego aparatu
matematycznego i algorytmicznego niż ten, który stosuje się
w rozwiązywaniu problemów jednokryterialnych [4, 17, 18].
Dlatego wypracowano drugi typ podejścia do rozwiązywania
problemów wielokryterialnych. Uwidacznia się on w
metodach
opartych na Pareto-optymalności
i
definiowaniu relacji
.
Owe relacje zawarte w globalnym modelu preferencji wykorzy-
stują mechanizmy ustalania odpowiednich wzajemnych zależno-
ści [17, 18].
W optymalizacji wielokryterialnej bazującej na technikach
Pareto-optymalności inaczej niż w pierwszym typie metod ro-
zumie się pojęcie
optimum
, bowiem poszukuje się nie jednego
najlepszego rozwiązania, lecz grupy wektorów (rozwiązań)
o ustalonym kompromisie (
trade-off
) pomiędzy (często sprzecz-
nymi) kryteriami, czyli pewnego podzbioru rozwiązań dopusz-
czalnych. Trudno zresztą liczyć na to, że uda się znaleźć jedno
rozwiązanie, które będzie optymalne ze względu na każde z kry-
teriów. Na ogół każda ze skalarnych składowych
f
i
wektorowej
funkcji celu osiąga ekstremum przy innym wektorze zmiennych
decyzyjnych
x
. Jedno rozwiązanie problemu wielokryterialnego
może pojawić się tylko wtedy, kiedy wszystkie skalarne składo-
we funkcji celu ulegałyby jednoczesnej minimalizacji (lub mak-
symalizacji) w tym samym punkcie (Rys. 4). Wówczas punkt ten
(wektor w przestrzeni kryterialnej) byłby tzw.
wektorem utopii
y
u
reprezentującym wszystkie optima cząstkowe, czyli najlep-
sze wartości każdej skalarnej funkcji kryterialnej
f
i
rozważanej
niezależnie (wartości, jakie uzyskane byłyby w poszczególnych
zadaniach optymalizacji jednokryterialnej). Jednakże wektor
utopii bardzo rzadko występuje w praktyce. Na ogół jest on
nieosiągalny – z takimi wartościami skalarnych funkcji kryterial-
nych f
i
nie należy do zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Dlatego
w problemach wielokryterialnych dążymy do znalezienia zbioru
wektorów rozwiązań o ustalonym kompromisie (
trade-off
), a nie
pojedynczego rozwiązania [4, 10].
W celu znalezienia tych wektorów rozwiązań słuszne byłoby
wyznaczenie frontu Pareto. Praktyczne problemy wielokryte-
rialne są na ogół na tyle złożone, że najczęściej ścisłe wytyczenie
tego frontu jest zadaniem przekraczającym możliwości oblicze-
niowe komputerów. Im większa jest wymiarowość (liczba zmien-
nych niezależnych) zadania optymalizacji, tym większy staje się
stopień komplikacji problemu. Ustaleniem ilości zasobów, takich
jak czas, pamięć, liczba procesorów czy liczba operacji potrzeb-
nych do rozwiązania problemu obliczeniowego wraz ze zmianą
liczby danych, które określają dany problem, zajmuje się teoria
Rys. 5
Schemat zadania optymalizacji: model jako matematyczny opis optymalizo-
wanego procesu
Źródło:[16].
W praktyce istnieją dwa główne typy podejścia do rozwiązy-
wania problemów wielokryterialnych [4, 17, 18].
Pierwszy reprezentują
metody skalaryzacji
. Ich istotą jest
to, że problem wielokryterialny, czyli wielowymiarowy, zostaje
zredukowany do problemu jednokryterialnego (tzn. z tylko jed-
nym kryterium). Zbiór funkcji celu sprowadzany jest do pojedyn-
czej zagregowanej funkcji, co w efekcie daje jedno rozwiązanie.
Do tego typu metod należą między innymi [4, 5, 24]:
a)
metoda sumy ważonej
f x
x
i i
( )
( )
=
=
∑
i
m
w f
1
gdzie najczęściej
w
w
i
i
m
i
∈
=
=
∑
0 1
1
1
,
.
oraz
(12)
przy czym nieujemne wagi w
i
wyrażają względną istotność
poszczególnych skalarnych funkcji kryterialnych.
W metodzie tej zakłada się, że znane są preferencje decy-
denta dotyczące ważności określonych kryteriów przed
poznaniem spektrum możliwych rozwiązań;
b)
programowanie celów;
