vol. 6 6/2017 Inżynier i Fizyk Medyczny
372
artykuł
\
article
radioterapia
\
radiotherapy
Oczekiwania te dotyczące rozkładu dawki w planie lecze-
nia matematycznie wyraża funkcja celu, której własności mają
fundamentalne znaczenie dla procesu optymalizacji, a przez to
także dla uzyskanego rozwiązania. Kluczowy problem stanowi
między innymi to, czy owa funkcja jest liniowa, wypukła, róż-
niczkowalna, spełniająca warunek Lipschitza, posiadająca wła-
sność dekompozycji, wielomodalna (posiadająca wiele minimów
lokalnych) itd. [3]. W optymalizacji planów leczenia szczególne
znaczenie ma własność wypukłości (
convexity
) i niewypukłości
(
non
-
convexity
) funkcji celu [4].
Proces optymalizacji map intensywności w planowaniu od-
wrotnym IMRT w zdecydowanej większości obecnie dostępnych
komercyjnych systemów planowania leczenia odbywa się z uży-
ciem skalarnej funkcji celu, która w istocie jest uproszczeniem
wielokryterialnego problemu do skalarnej, jednokryterialnej
funkcji celu, dającej się najprościej zapisać w postaci sumy ważo-
nej. Dla przypomnienia:
f x
x
( )
=
( )
=
∑
i
m
i i
w f
1
(12a)
w oraz w
i
i
m
i
∈
=
=
∑
0 1
1
1
,
.
Współczynniki wagowe w
i
odzwierciedlają preferencje plani-
sty/ decydenta o (relatywnej) ważności konkurujących ze sobą
celów: napromienienie targetów
versus
ochrona narządów chro-
nionych. Bardzo często osoba planująca z góry nie wie, jak waż-
ne są poszczególne kryteria, czyli odrębne człony funkcji celu.
Należymocno podkreślić, że uproszczenie to (12a) polegające na
sprowadzeniu problemu wielokryterialnego do pojedynczej skalar-
nej i zagregowanej funkcji celu oraz na wprowadzeniu względnych
współczynników wagowych powoduje, że proces optymalizacji
obarczony jest subiektywizmem już w punkcie startu. W efekcie
proces ustalania właściwych wartości poszczególnych współczyn-
ników bardzo często staje się żmudnym i czasochłonnym zajęciem,
prowadzącym do powstania swego rodzaju iteracyjnej pętli czło-
wiek – komputer (system planowania leczenia, optymalizator) [5].
Wynik działania algorytmu optymalizacyjnego w procesie
planowania wstecznego IMRT to (dla jednego zestawu wartości
w
i
i dla konkretnej geometrii wiązek) pojedynczy plan leczenia
– czyli pewien zbiór dwuwymiarowych profili intensywności (flu-
encji) promieniowania, które w najlepszy sposób realizują cele
zdefiniowane przez konkretną funkcję celu.
W toku konstruowania funkcji celu użytej do optymalizacji
planu IMRT wykorzystuje się bądź modele fizyczne bazujące
na dobrze znanych wielkościach fizycznych (dawka, objętość,
ograniczenia dawka – objętość), bądź – rzadziej – modele bio-
logiczne, które są próbą matematycznego opisu złożonych pro-
cesów radiobiologicznych. Jednak w komercyjnie dostępnych
systemach planowania leczenia techniką IMRT funkcja celu naj-
częściej budowana jest w oparciu o trzy główne typy kryteriów
optymalizacyjnych wyrażanych funkcjami bazującymi na: dawce
(wartości graniczne dla dawki minimalnej i maksymalnej), EUD
(
Equivalent Uniform Dose
), zależnościach DVH (
Dose – Volume Hi-
stogram
) typu dawka – objętość [2].
Najbardziej ogólną postać funkcji celu w optymalizacji IMRT
można zapisać następująco:
f
p f
p f
a
A
a
T
a
T
b
B
b
OAR
b
OAR
=
+
=
=
∑ ∑
1
1
(12b)
gdzie
f
a
T
to funkcja celu dla
a
-tego targetu, zaś
p
a
T
stanowi pew-
ną funkcję kary za przekroczenie ograniczeń zdefiniowanych
przez planistę dla tego targetu. Analogicznie,
f
b
OAR
jest funkcją
celu dla struktury chronionej
b
, natomiast
p
b
OAR
to odpowiedni
współczynnik kary dla tej struktury [6].
Istnieją dwa główne podejścia do optymalizacji planów le-
czenia w technice IMRT: pierwsze z nich –
optymalizacja map
fluencji
(
fluence map optimization,
FMO) jako zmienne decyzyjne
przyjmuje fluencję energii/intensywność beamletów, zaś druga
–
optymalizacja apertur
(
direct aperture optimization
, DAO) –
jako zmienne decyzyjne traktuje położenia listków kolimatora
i wagi segmentów, na które dzielone są poszczególne pola te-
rapeutyczne [5].
Model optymalizacji IMRT
Bazowy model optymalizacji w IMRT można opisać następująco.
Po pierwsze: zakładamy, że badanie tomograficzne pacjenta
reprezentowane jest poprzez siatkę trójwymiarowych voxeli.
Wówczas wektor
d
(w notacji macierzowej) wyraża dawkę w każ-
dym voxelu w ciele pacjenta, a jego długość – równa liczbie tych
voxeli – jest rzędu 10
6
.
Po drugie: każda wiązka promieniowania jest dzielona (dys-
kretyzowana) w siatkę beamletów. Całkowita liczba beamletów
użytych w procesie optymalizacji map intensywności dla każdej
wiązki jest sumą beamletów dla każdej z nich (wiązka jest iden-
tyfikowana poprzez kąt ramienia). Wartości intensywności po-
szczególnych beamletów są wyrażone przez wektor
x
(o długo-
ści rzędu 10
4
), który jest (poszukiwanym) wektorem zmiennych
decyzyjnych.
Problem optymalizacji w planowaniu IMRT, polegający na
znalezieniu wartości wektora zmiennych decyzyjnych, czyli
wektora optymalnych intensywności beamletów
x
, wyrazić
można w najbardziej ogólny sposób [4] – w notacji macierzo-
wej – poprzez:
min
min
f
f
d
d x
( )
=
( )
(
)
D
x d
=
(13)
x
≥
0
x
∈Ω
Wektor zmiennych decyzyjnych
x
musi oczywiście należeć do
zbioru rozwiązań (wektorów) dopuszczalnych Ω. Zbiór ten (znaj-
dujący się w przestrzeni decyzyjnej) definiowany jest poprzez
limitowane możliwości realizacji planów leczenia, wynikające
z ograniczonych możliwości sprzętowych (np. szybkość przesu-
wu listków kolimatora).
Z praktycznego punktu widzenia szczególnie ważny przy-
padek stanowi sytuacja, gdy zarówno funkcja celu
f(
x
)
, jak
i zbiór Ω są wypukłe. Mamy wtedy do czynienia z problemem
